« Le résultat du vote dépend du système utilisé » !

Voici la description d’une animation de feu « Archimède », magazine scientifique qui passait tous les mardis sur Arte : dans cette animation, le professeur Archipi explique à son élève Archiprime que « le résultat du vote [lors d’une élection] dépend du système utilisé » ! (voir aussi ici : http://archives.arte.tv/hebdo/archimed/20010102/ftext/sujet4.html)

Sciences animées : Élection

« Il faudrait que nous ayons un système électoral juste, s’exclama Archiprime, l’élève d’Archipi, c’est-à-dire qui reflète au mieux les choix des électeurs. »

« Hélas, gémit le professeur Archipi, cela est impossible. Le résultat du vote dépend du système utilisé.
Voyons cela pour une élection pour la présidence de l’Union Européenne où nous avons cinq candidats, par exemple François, Esperanza, Marcello, Ute et John, et admettons que leurs électeurs se répartissent selon six possibilités : ainsi 7,2 millions d’électeurs placent en premier choix François, en second Marcello, en troisième John, en quatrième Esperanza et, enfin, en cinquième choix, Ute. 4,8 millions d’électeurs placent au premier rang Ute, en deuxième rang John etc., comme sur le tableau.

Notre premier système électoral, continua Archipi, est une élection à un tour : chaque électeur vote pour son premier choix. François est élu avec 7,2 millions de voix.
« Ce n’est pas un système juste, s’exclama Archiprime, car 14, 8 millions de personnes lui préféraient un autre candidat. François est élu par moins d’un tiers des votants.
« Alors, examinons le système électoral français actuel, continua Archipi, où François et Ute sont les deux candidats qui ont eu le plus de voix au premier tour. Alors les électeurs des quatre autres groupes votent, au second tour selon leur ordre de choix.

Comme les électeurs des quatre derniers groupes préfèrent Ute à François, la candidate allemande est élue avec l’écrasante majorité de 14,8 millions d’électeurs contre 7,2 pour le candidat français.
 » Quel que soit le système électoral, avança Archiprime, le résultat sera toujours un de ces deux candidats, François ou Ute. Ce n’est pas si injuste !  »

Que nenni, lui répondit le professeur Archipi ! Prenons un système à plusieurs tours où, à chaque tour, on élimine le candidat qui a le moins de voix. Ce système correspond au dicton selon lequel les électeurs éliminent plus qu’ils ne choisissent. Au premier tour, John, qui n’obtient que 2, 4 millions de voix, est éliminé.
Au second tour, 1,6 million des voix de John se reportent sur Ute, leur second choix, et 0,8 million sur Esperanza. Aussi, Marcello est éliminé au second tour.
Les votes se reportent au tour suivant sur Esperanza, ce qui entraîne l’élimination de Ute.
Comme les électeurs de Ute préfèrent Esperanza à François, c’est la candidate espagnole qui est élue, avec 14,8 millions de voix.

« Et si nous utilisons le système du mathématicien Borda, demanda Archiprime, où chaque électeur attribue 5 points au premier choix, 4 au deuxième choix, 3 au troisième, etc.? Avec ce système à un tour, qui serait élu ?
 » Faisons les comptes, répondit Archipi.
Le vainqueur est le candidat italien, qui obtient, en suivant les colonnes de gauche à droite, 76,4 millions de points.
(7,2 x 4) + (4,8 x 3) + (4 x 2) + (3,6 x 5) + (1,6 x 3) + (0,8 x 3) = 76,4 millions.
« C’est exact, j’ai fait les comptes pour les autres qui obtiennent moins de points. J’hallucine, s’écria Archiprime.
(Totaux pour les autres : 75,6 millions pour John; 64,8 millions pour Esperanza; 62,4 millions pour Ute; 50,8 millions pour François)

« Le seul candidat qui n’ait pas gagné avec un des quatre systèmes électoraux que nous venons d’examiner est John, le candidat anglais : nous allons le faire gagner avec un dernier système, le système de Condorcet. Dans celui-ci, nous opposons chaque candidat à tous les autres, et nous comptons celui qui a le plus de victoires.
John gagne contre Ute : elle obtient 7,2 + 3,6 + 1,6 + 0,8, soit 13,2 millions de voix, alors que Ute n’obtient que 4,8 + 4, soit 8,8 millions de voix. Et il gagne également contre tous ses autres opposants. Tu pourras le vérifier, Archiprime !

« Avec ces cinq systèmes électoraux qui semblent également justes, nous avons cinq résultats différents, continua Archipi. Ceux qui choisissent le système électoral déterminent l’heureux gagnant. C’est sur des considérations de cet ordre que Kenneth Arrow, prix Nobel d’économie en 1972, prouva qu’il n’y avait pas de système électoral qui soit juste. La démocratie parfaite est un rêve impossible !  »

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